Už od střední školy jsem měl ke kombinatorice kladný vztah a řešení kombinatorických úloh mě stále baví o něco více, než řešení úloh z jiných oborů matematiky. Přitom se typicky jedná o úlohy, jejichž zadání je tak prosté, že mu rozumí i žák základní školy (bez ohledu na to, zda by je dokázal vyřešit). Na druhou stranu je kombinatorika velmi nepříjemnou látkou nejen pro mnoho žáků, ale dokonce i pro mnoho učitelů matematiky.
Proč tomu tak je, částečně vysvětluje hned úvodní kapitola učebnice Matematika pro gymnázia – kombinatorika, pravděpodobnost, statistika (Calda, Dupač). Kombinatorika je totiž odlišná – na rozdíl od jiných oborů matematiky zde podle autorů nemáme možnost ověřit si správnost výsledku, ke kterému jsme při řešení kombinatorické úlohy dospěli, a jsme odkázáni jen na svůj vlastní úsudek.
To je pro žáka i učitele samozřejmě velký problém. Nechme stranou fakt, že si často mnozí učitelé matematiky nejsou správností svého úsudku jisti. Situace se vždy komplikuje ve chvíli, kdy je na učiteli, aby přesvědčil žáka, že jeho úsudek je správný. Přitom kombinatorické úlohy se dají často řešit několika odlišnými způsoby. To je fakt, který nelze žákům zatajit. Jak lze ale žáka přesvědčit, že je jeho postup špatný? To, že mu vychází něco jiného než učiteli, není dostačující argument. Rozpoznat, kde je v úvaze chyba a srozumitelně to žákovi popsat, bývá pro učitele matematiky složitý úkol.
Nyní nahlédneme do některých učebnic pro střední školy, ve kterých se kombinatorice autoři věnují. Zdá se, že se pojetí kombinatoriky u nás řídí zásadami a didaktickými doporučeními profesora Eduarda Čecha, zaznamenanými v jeho článku Kombinatorika a počet pravděpodobnosti na středních školách, který vyšel v Časopisu pro pěstování matematiky a fysiky v roce 1939. Jedná se především o tyto zásady:
- Středoškolská výuka kombinatoriky by měla vycházet ze dvou základních kombinatorických pravidel součtu a součinu.
- Při probírání typů skupin doporučil prof. Čech nepostupovat podle schématu permutace – kombinace – variace, ale zdůvodnil, že logicky přirozenější a didakticky vhodnější je schéma variace – permutace – kombinace.
- Po základech kombinatoriky je vhodné zařadit ihned počet pravděpodobnosti s užitím poznatků z kombinatoriky a zejména základních kombinatorických pravidel. (Didaktika matematiky – Jak učit matematiku zajímavě a užitečně, Polák)
Odmaturuj z matematiky 1
(Čermák, 2004 – 3. opravené vydání)
Nejedná se o učebnici v tradičním pojetí, neboť je zde kladen důraz na definice a řešené příklady na úkor didaktické stránky. Kapitole pojednávající o kombinatorice je v této učebnici věnováno 20 stran a je rozdělena do čtyř pomyslných celků, které lze chápat jako podkapitoly.
V první podkapitole jsou v matematickém jazyce vysvětlena základní kombinatorická pravidla – kombinatorické pravidlo součinu a kombinatorické pravidlo součtu. Dále je zde definován faktoriál a kombinační číslo, podkapitolu uzavírají některé základní kombinatorické identity (bez odvozování).
Druhá podkapitola je uvedena definicí variace, permutace a kombinace bez opakování. Následují řešené příklady rozdělené do čtyř bloků – nejdříve na variace bez opakování, poté na permutace bez opakování, dále příklady na kombinace bez opakování a nakonec smíšené příklady. „Smíšených“ příkladů je bohužel jen šest, což je škoda, neboť právě zde má žák možnost ověřit si, zda pochopil praktický rozdíl mezi variacemi, permutacemi a kombinacemi (bez opakování).
Třetí podkapitola má totožnou strukturu s druhou, jen se týká variací, permutací a kombinací s opakováním. Výjimkou je však absence bloku smíšených příkladů.
Čtvrtá podkapitola je uvedena binomickou větou, kterou následuje několik příkladů na její využití. Celá kapitola je uzavřena definicí Pascalova trojúhelníku s názorným obrázkem.
Variace, permutace a kombinace (s opakováním a bez opakování) jsou matematicky korektně definovány jako uspořádané nebo neuspořádané k-tice sestavené z n prvků. To, že se tvoření takových k-tic dá chápat jako umisťování n předmětů do k přihrádek, zde explicitně vysvětleno není, nicméně u množství příkladů je k popisu řešení této analogie využíváno – umisťování předmětů do přihrádek je graficky naznačeno. Pro jednoduchost jsou přihrádky reprezentovány jako modré puntíky.
Slovní popis řešení úloh je velmi stručný. Poměrně velká část úloh se týká počtu čísel splňujících určité podmínky. Např.: „Urči počet všech nejvýše pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá z 10 číslic vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z nich je menších než 50 000?“ Tyto úlohy se jeví jako samoúčelné, na druhou stranu pro žáka jsou možná lépe pochopitelné než některé zajímavější kombinatorické úlohy. V učebnici se nachází úloh tohoto typu dostatek na to, aby měl i slabší žák možnost získat během cvičení určitou míru jistoty ve svých postupech řešení.
Z celé kapitoly mě nejvíce zaujal úvodní příklad na variace s opakováním: „Urči, kolik písmen může popsat Morseova abeceda, která k popsání používá symboly tečka, čárka ve skupinách po jednom, dvou, třech nebo po čtyřech symbolech, které se mohou jednou, dvakrát, třikrát nebo čtyřikrát opakovat.“
Předpokládáme-li, že žáci vědí, co je to Morseova abeceda, neměl by nastat problém s pochopením zadání. Zajímavé je i výsledné řešení úlohy – zjistíme, že Morseova abeceda, jak je definována, je schopna rozeznávat 30 znaků. To je číslo velmi blízké počtu písmen v mezinárodní abecedě, což je 26 – Morseova abeceda je tedy v tomto ohledu velmi efektivní. Tento zajímavý fakt bohužel v učebnici zmíněn není.
Učebnici bych nedoporučil k samostudiu žákovi střední školy, který se s kombinatorikou dosud nesetkal, neboť zde chybí motivační úvod, odvození základních vzorců a didaktická stránka je celkově potlačena. Jakožto příručka pro učitele může být užitečná pro korektní definice, největším přínosem je však solidní množství řešených úloh. Spíše než jako sbírka úloh k procvičení však poslouží kapitola Kombinatorika v této učebnici jako přehled ukázkových jednoduchých kombinatorických úloh a jejich způsobů řešení. U všech úloh je totiž vždy už z umístění v kapitole zřejmé, zda se k řešení využijí variace (resp. permutace, kombinace) s opakováním nebo bez opakování.
Matematika pro gymnázia – Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
(Calda, Dupač, 2007)
Tato učebnice pojme na více než 160 stránkách středoškolskou kombinatoriku, pravděpodobnost a statistiku, přičemž kombinatorice samotné je věnována témeř polovina obsahu. Čtenáře na první pohled zaujmou krátké básničky a citáty typické pro publikace docenta Caldy, které uvádějí každou kapitolu. Text je souvislý a čtivý, ale důležitá tvrzení a definice jsou graficky oddělené. Definice jsou nejvíce zvýrazněné – nacházejí se v rámečku. Tvrzení jsou graficky zvýrazněna pouze odsazením textu. Účelně jsou využívané též občasné ilustrace.
V publikaci často narážíme na řešené příklady. Řešení bývá rozvinuto do detailů a samo o sobě je čtivé. Četné jsou i příklady s obecným zadáním (místo číselné hodnoty je použita proměnná), které jsou samozřejmě náročnější. Na závěr kapitoly je vždy zadáno několik úloh k procvičení, jejichž výsledky najdeme v závěru publikace. K jejich vyřešení většinou nestačí pouhé dosazení do vzorce, ale je potřeba provést určité (slovy autorů „nijak složité“) úvahy. Zajímavost i obtížnost úloh je různá, nalezneme úlohy samoúčelné i elegantní.
Hned v první kapitole – Základní kombinatorická pravidla – mě zaujala prostá úloha: „Určete, kolik dvojjazyčných slovníků je třeba k tomu, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z anglického, francouzského, německého a ruského jazyka do každého z nich.“ Většina řešitelů se základními znalostmi v oblasti kombinatoriky by pravděpodobně využila k řešení této úlohy kombinace. V úvahu přichází také řešení grafické (je možné navrhnout rovinný graf, kde vrcholy reprezentují jazyky a řešitelem vytvořené hrany reprezentují slovníky). Autoři však vzhledem k umístění této úlohy zřejmě očekávají řešení pomocí kombinatorického pravidla součinu: První jazyk vybereme ze 4, druhý ze 3, což dává 12 uspořádaných dvojic. Na pořadí jazyků však ve dvojjazyčném slovníku nezáleží, proto musíme počet dvojic vydělit dvěma.
Následují kapitoly zvlášť věnované variacím, permutacím a kombinacím bez opakování. Poté je čtenáři nabídnuto užitečné shrnutí, kde najde pohromadě zmíněné definice – variace, permutace, kombinace, faktoriál a kombinační číslo. Systematicky stejně jako v předchozí publikaci je řazena látka i v následujících kapitolách – variace, permutace a kombinace, tentokrát s opakováním.
Předposlední výkladově vedenou kapitolou jsou Vlastnosti kombinačních čísel, kde jsou odvozeny některé kombinatorické identity a velmi pečlivě je zde popsáno vybudování Pascalova trojúhelníku. Tato kapitola je společně s navazující (věnované binomické větě) rozhodně nejnáročnější na vstřebání pro středoškolského žáka, z velké části se jedná spíše o nadstavbu nad středoškolským učivem. Kombinatorickou část publikace uzavírá shrnutí a úlohy k opakování.
Tuto učebnici bych doporučil jako příručku pro učitele matematiky na gymnáziích, neboť nejen obsahuje všechny potřebné definice a vzorce, které je potřeba ve výuce kombinatoriky zmínit, ale navíc poskytuje i slušné návrhy, jak se k nim lze s trochou vůle poměrně zajímavě dopracovat. Je však potřeba, aby se učitel v učebnici orientoval a byl v hodinách schopen vyjádřit z ní a zdůraznit to podstatné, neboť je poměrně obsáhlá. Především se mi tato učebnice jeví jako výborná literatura pro samostudium. Rozhodně bych na ni odkázal žáka střední školy projevujícího zájem o nějaký doplňující materiál týkající se kombinatoriky a pravděpodobnosti.
Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 4. část, 5. vydání
(Petránek, Calda, Hebák, 2010)
V této učebnici pro střední školy je zvolen trochu jiný styl výkladu. Například hned první podkapitolu v kapitole Kombinatorika – Kombinatorické pravidlo součinu – uvádí autor slovy „Začněme několika úlohami, které podrobně vyřešíme“. Tak se skutečně děje. V učebnici jsou detailně popsány postupy řešení dvou úloh s využitím názorných obrázků. Teprve poté je vyřčeno kombinatorické pravidlo součinu v matematickém jazyce. Přesněji řečeno, pravidla jsou uvedena dvě – jedno pro uspořádané dvojice a jedno pro uspořádané trojice. Teprve po několika dalších řešených příkladech je uvedeno obecné kombinatorické pravidlo součinu pro uspořádané k-tice. Kombinatorické pravidlo součtu zmíněno není. Kapitola je uzavřena několika cvičeními, které jsou variacemi na dříve řešené příklady.
Následují podkapitoly v tomto pořadí: Variace, Permutace, Variace s opakováním, Kombinace. Permutace a kombinace jsou v učebnici probírány pouze bez opakování. Každá podkapitola obsahuje, podobně jako podkapitola Kombinatorické pravidlo součinu, několik detailně vyřešených ukázkových příkladů, základní vzorce včetně odvození a několik cvičení na závěr.
Závěrečné dvě podkapitoly jsou, stejně jako v předchozí publikaci, věnované po řadě vlastnostem kombinačních čísel a binomické větě. Všechna tvrzení jsou srozumitelně odvozována. Dobře je popsána konstrukce Pascalova trojúhelníku a jeho využití. Binomická věta je odvozena v podobném stylu, jako je zavedeno kombinatorické pravidlo součinu v první podkapitole. Nejdříve je připomenut vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu, poté odvozen vzorec pro třetí mocninu dvojčlenu a binomická věta vzniká zobecněním použitých úvah.
Tato kniha může být vhodná pro samostudium, neboť je srozumitelná a obsahuje vhodné příklady. Jeví se jako ideální průvodce hodinou matematiky na středních odborných školách. Nicméně chybí zde témata jako permutace s opakováním a kombinace s opakováním.
Matematika – přehled středoškolského učiva – edice Maturita
(Kubešová, Cibulková, 2012)
Tato publikace je zpracována ve velmi podobném duchu jako Odmaturuj z matematiky 1. I zde jsou na úvod uvedena základní kombinatorická pravidla bez dalších komentářů. Následují hned řešené příklady. Látka je probírána v totožném pořadí, ale nalezneme zde odlišné úlohy, které jsou navíc řešené o poznání podrobněji. Vyskytují se zde však i příklady s relativně neobvyklým zadáním, např.: „Zvětší-li se počet prvků o 5, zvětší se počet variací třetí třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků o 870. Určete původní počet prvků.“ Nejedná se o úplně jednoduchý příklad, ale v podstatě jen testuje schopnost sestavení rovnice a dosazování do vzorců. Nedá se říct, že by byl nezajímavý, ale jeví se jako samoúčelný. Podobný příklad najdeme v učebnici i na kombinace.
Vzorce pro výpočet variací, permutací a kombinací nejsou odvozovány. Skupinám s opakováním je pro každý druh předveden jen jeden řešený příklad. Vybudování a význam Pascalova trojúhelníku jsou v učebnici vysvětleny. Binomická věta odvozována není, jen je naznačena souvislost s Pascalovým trojúhelníkem.
Tato učebnice může být použita jako učební pomůcka pro žáka, neboť obsahuje potřebné vzorce a definice, ale neobsahuje dostatek didakticky hodnotného materiálu na to, aby mohla sloužit k samostudiu nebo jako primární podklad pro učitelův výklad.
Závěr
Jak bylo řečeno na začátku článku, kombinatorika je z určitých důvodů nepříjemná látka jak pro žáka, tak pro učitele, a více než v jiných oborech matematiky se při její výuce musí učitel spolehnout nejen na své didaktické schopnosti, ale hlavně na schopnost smysluplně argumentovat a diskutovat s žáky. Kvalitní literatura může pomoci vybudovat teoretické zázemí, ale právě v případě kombinatoriky se o něj nedá stoprocentně opřít. Na druhou stranu, kombinatorika nabízí příležitosti k řešení úloh, které se často zdají být o poznání méně abstraktní než úlohy z jiných odvětví matematiky, alespoň pro středoškoláka.
Autor: Jindřich Michalik