U\u017e od st\u0159edn\u00ed \u0161koly jsem m\u011bl ke kombinatorice kladn\u00fd vztah a \u0159e\u0161en\u00ed kombinatorick\u00fdch \u00faloh m\u011b st\u00e1le bav\u00ed o n\u011bco v\u00edce, ne\u017e \u0159e\u0161en\u00ed \u00faloh z jin\u00fdch obor\u016f matematiky. P\u0159itom se typicky jedn\u00e1 o \u00falohy, jejich\u017e zad\u00e1n\u00ed je tak prost\u00e9, \u017ee mu rozum\u00ed i \u017e\u00e1k z\u00e1kladn\u00ed \u0161koly (bez ohledu na to, zda by je dok\u00e1zal vy\u0159e\u0161it). Na druhou stranu je kombinatorika velmi nep\u0159\u00edjemnou l\u00e1tkou nejen pro mnoho \u017e\u00e1k\u016f, ale dokonce i pro mnoho u\u010ditel\u016f matematiky.<\/p>\n\n\n\n
Pro\u010d tomu tak je, \u010d\u00e1ste\u010dn\u011b vysv\u011btluje hned \u00favodn\u00ed kapitola u\u010debnice\u00a0Matematika pro gymn\u00e1zia \u2013 kombinatorika, pravd\u011bpodobnost, statistika (Calda, Dupa\u010d)<\/em>. Kombinatorika je toti\u017e odli\u0161n\u00e1 \u2013 na rozd\u00edl od jin\u00fdch obor\u016f matematiky zde podle autor\u016f nem\u00e1me mo\u017enost ov\u011b\u0159it si spr\u00e1vnost v\u00fdsledku, ke kter\u00e9mu jsme p\u0159i \u0159e\u0161en\u00ed kombinatorick\u00e9 \u00falohy dosp\u011bli, a jsme odk\u00e1z\u00e1ni jen na sv\u016fj vlastn\u00ed \u00fasudek.<\/p>\n\n\n\n To je pro \u017e\u00e1ka i u\u010ditele samoz\u0159ejm\u011b velk\u00fd probl\u00e9m. Nechme stranou fakt, \u017ee si \u010dasto mnoz\u00ed u\u010ditel\u00e9 matematiky nejsou spr\u00e1vnost\u00ed sv\u00e9ho \u00fasudku jisti. Situace se v\u017edy komplikuje ve chv\u00edli, kdy je na u\u010diteli, aby p\u0159esv\u011bd\u010dil \u017e\u00e1ka, \u017ee jeho \u00fasudek je spr\u00e1vn\u00fd. P\u0159itom kombinatorick\u00e9 \u00falohy se daj\u00ed \u010dasto \u0159e\u0161it n\u011bkolika odli\u0161n\u00fdmi zp\u016fsoby. To je fakt, kter\u00fd nelze \u017e\u00e1k\u016fm zatajit. Jak lze ale \u017e\u00e1ka p\u0159esv\u011bd\u010dit, \u017ee je jeho postup \u0161patn\u00fd? To, \u017ee mu vych\u00e1z\u00ed n\u011bco jin\u00e9ho ne\u017e u\u010diteli, nen\u00ed dosta\u010duj\u00edc\u00ed argument. Rozpoznat, kde je v \u00favaze chyba a srozumiteln\u011b to \u017e\u00e1kovi popsat, b\u00fdv\u00e1 pro u\u010ditele matematiky slo\u017eit\u00fd \u00fakol.<\/p>\n\n\n\n Nyn\u00ed nahl\u00e9dneme do n\u011bkter\u00fdch u\u010debnic pro st\u0159edn\u00ed \u0161koly, ve kter\u00fdch se kombinatorice auto\u0159i v\u011bnuj\u00ed. Zd\u00e1 se, \u017ee se pojet\u00ed kombinatoriky u n\u00e1s \u0159\u00edd\u00ed z\u00e1sadami a didaktick\u00fdmi doporu\u010den\u00edmi profesora Eduarda \u010cecha, zaznamenan\u00fdmi v jeho \u010dl\u00e1nku Kombinatorika a po\u010det pravd\u011bpodobnosti na st\u0159edn\u00edch \u0161kol\u00e1ch<\/em>, kter\u00fd vy\u0161el v \u010casopisu pro p\u011bstov\u00e1n\u00ed matematiky a fysiky v roce 1939. Jedn\u00e1 se p\u0159edev\u0161\u00edm o tyto z\u00e1sady:<\/p>\n\n\n\n (\u010cerm\u00e1k, 2004 \u2013 3. opraven\u00e9 vyd\u00e1n\u00ed)<\/em><\/p>\n\n\n\n Nejedn\u00e1 se o u\u010debnici v tradi\u010dn\u00edm pojet\u00ed, nebo\u0165 je zde kladen d\u016fraz na definice a \u0159e\u0161en\u00e9 p\u0159\u00edklady na \u00fakor didaktick\u00e9 str\u00e1nky. Kapitole pojedn\u00e1vaj\u00edc\u00ed o kombinatorice je v t\u00e9to u\u010debnici v\u011bnov\u00e1no 20 stran a je rozd\u011blena do \u010dty\u0159 pomysln\u00fdch celk\u016f, kter\u00e9 lze ch\u00e1pat jako podkapitoly.<\/p>\n\n\n\n V prvn\u00ed podkapitole jsou v matematick\u00e9m jazyce vysv\u011btlena z\u00e1kladn\u00ed kombinatorick\u00e1 pravidla – kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dinu a kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dtu. D\u00e1le je zde definov\u00e1n faktori\u00e1l a kombina\u010dn\u00ed \u010d\u00edslo, podkapitolu uzav\u00edraj\u00ed n\u011bkter\u00e9 z\u00e1kladn\u00ed kombinatorick\u00e9 identity (bez odvozov\u00e1n\u00ed).<\/p>\n\n\n\n Druh\u00e1 podkapitola je uvedena definic\u00ed variace, permutace a kombinace bez opakov\u00e1n\u00ed. N\u00e1sleduj\u00ed \u0159e\u0161en\u00e9 p\u0159\u00edklady rozd\u011blen\u00e9 do \u010dty\u0159 blok\u016f \u2013 nejd\u0159\u00edve na variace bez opakov\u00e1n\u00ed, pot\u00e9 na permutace bez opakov\u00e1n\u00ed, d\u00e1le p\u0159\u00edklady na kombinace bez opakov\u00e1n\u00ed a nakonec sm\u00ed\u0161en\u00e9 p\u0159\u00edklady. „Sm\u00ed\u0161en\u00fdch“ p\u0159\u00edklad\u016f je bohu\u017eel jen \u0161est, co\u017e je \u0161koda, nebo\u0165 pr\u00e1v\u011b zde m\u00e1 \u017e\u00e1k mo\u017enost ov\u011b\u0159it si, zda pochopil praktick\u00fd rozd\u00edl mezi variacemi, permutacemi a kombinacemi (bez opakov\u00e1n\u00ed).<\/p>\n\n\n\n T\u0159et\u00ed podkapitola m\u00e1 toto\u017enou strukturu s druhou, jen se t\u00fdk\u00e1 variac\u00ed, permutac\u00ed a kombinac\u00ed s opakov\u00e1n\u00edm. V\u00fdjimkou je v\u0161ak absence bloku sm\u00ed\u0161en\u00fdch p\u0159\u00edklad\u016f.<\/p>\n\n\n\n \u010ctvrt\u00e1 podkapitola je uvedena binomickou v\u011btou, kterou n\u00e1sleduje n\u011bkolik p\u0159\u00edklad\u016f na jej\u00ed vyu\u017eit\u00ed. Cel\u00e1 kapitola je uzav\u0159ena definic\u00ed Pascalova troj\u00faheln\u00edku s n\u00e1zorn\u00fdm obr\u00e1zkem.<\/p>\n\n\n\n Variace, permutace a kombinace (s opakov\u00e1n\u00edm a bez opakov\u00e1n\u00ed) jsou matematicky korektn\u011b definov\u00e1ny jako uspo\u0159\u00e1dan\u00e9 nebo neuspo\u0159\u00e1dan\u00e9 k-tice sestaven\u00e9 z n prvk\u016f. To, \u017ee se tvo\u0159en\u00ed takov\u00fdch k-tic d\u00e1 ch\u00e1pat jako umis\u0165ov\u00e1n\u00ed n p\u0159edm\u011bt\u016f do k p\u0159ihr\u00e1dek, zde explicitn\u011b vysv\u011btleno nen\u00ed, nicm\u00e9n\u011b u mno\u017estv\u00ed p\u0159\u00edklad\u016f je k popisu \u0159e\u0161en\u00ed t\u00e9to analogie vyu\u017e\u00edv\u00e1no – umis\u0165ov\u00e1n\u00ed p\u0159edm\u011bt\u016f do p\u0159ihr\u00e1dek je graficky nazna\u010deno. Pro jednoduchost jsou p\u0159ihr\u00e1dky reprezentov\u00e1ny jako modr\u00e9 punt\u00edky.<\/p>\n\n\n\n Slovn\u00ed popis \u0159e\u0161en\u00ed \u00faloh je velmi stru\u010dn\u00fd. Pom\u011brn\u011b velk\u00e1 \u010d\u00e1st \u00faloh se t\u00fdk\u00e1 po\u010dtu \u010d\u00edsel spl\u0148uj\u00edc\u00edch ur\u010dit\u00e9 podm\u00ednky. Nap\u0159.: „Ur\u010di po\u010det v\u0161ech nejv\u00fd\u0161e p\u011bticifern\u00fdch p\u0159irozen\u00fdch \u010d\u00edsel, v jejich\u017e dekadick\u00e9m z\u00e1pisu se ka\u017ed\u00e1 z 10 \u010d\u00edslic vyskytuje nejv\u00fd\u0161e jednou. Kolik z nich je men\u0161\u00edch ne\u017e 50 000?“ <\/em>Tyto \u00falohy se jev\u00ed jako samo\u00fa\u010deln\u00e9, na druhou stranu pro \u017e\u00e1ka jsou mo\u017en\u00e1 l\u00e9pe pochopiteln\u00e9 ne\u017e n\u011bkter\u00e9 zaj\u00edmav\u011bj\u0161\u00ed kombinatorick\u00e9 \u00falohy. V u\u010debnici se nach\u00e1z\u00ed \u00faloh tohoto typu dostatek na to, aby m\u011bl i slab\u0161\u00ed \u017e\u00e1k mo\u017enost z\u00edskat b\u011bhem cvi\u010den\u00ed ur\u010ditou m\u00edru jistoty ve sv\u00fdch postupech \u0159e\u0161en\u00ed.<\/p>\n\n\n\n Z cel\u00e9 kapitoly m\u011b nejv\u00edce zaujal \u00favodn\u00ed p\u0159\u00edklad na variace s opakov\u00e1n\u00edm: „Ur\u010di, kolik p\u00edsmen m\u016f\u017ee popsat Morseova abeceda, kter\u00e1 k pops\u00e1n\u00ed pou\u017e\u00edv\u00e1 symboly te\u010dka, \u010d\u00e1rka ve skupin\u00e1ch po jednom, dvou, t\u0159ech nebo po \u010dty\u0159ech symbolech, kter\u00e9 se mohou jednou, dvakr\u00e1t, t\u0159ikr\u00e1t nebo \u010dty\u0159ikr\u00e1t opakovat.“<\/em><\/p>\n\n\n\n P\u0159edpokl\u00e1d\u00e1me-li, \u017ee \u017e\u00e1ci v\u011bd\u00ed, co je to Morseova abeceda, nem\u011bl by nastat probl\u00e9m s pochopen\u00edm zad\u00e1n\u00ed. Zaj\u00edmav\u00e9 je i v\u00fdsledn\u00e9 \u0159e\u0161en\u00ed \u00falohy \u2013 zjist\u00edme, \u017ee Morseova abeceda, jak je definov\u00e1na, je schopna rozezn\u00e1vat 30 znak\u016f. To je \u010d\u00edslo velmi bl\u00edzk\u00e9 po\u010dtu p\u00edsmen v mezin\u00e1rodn\u00ed abeced\u011b, co\u017e je 26 \u2013 Morseova abeceda je tedy v tomto ohledu velmi efektivn\u00ed. Tento zaj\u00edmav\u00fd fakt bohu\u017eel v u\u010debnici zm\u00edn\u011bn nen\u00ed.<\/p>\n\n\n\n U\u010debnici bych nedoporu\u010dil k samostudiu \u017e\u00e1kovi st\u0159edn\u00ed \u0161koly, kter\u00fd se s kombinatorikou dosud nesetkal, nebo\u0165 zde chyb\u00ed motiva\u010dn\u00ed \u00favod, odvozen\u00ed z\u00e1kladn\u00edch vzorc\u016f a didaktick\u00e1 str\u00e1nka je celkov\u011b potla\u010dena. Jako\u017eto p\u0159\u00edru\u010dka pro u\u010ditele m\u016f\u017ee b\u00fdt u\u017eite\u010dn\u00e1 pro korektn\u00ed definice, nejv\u011bt\u0161\u00edm p\u0159\u00ednosem je v\u0161ak solidn\u00ed mno\u017estv\u00ed \u0159e\u0161en\u00fdch \u00faloh. Sp\u00ed\u0161e ne\u017e jako sb\u00edrka \u00faloh k procvi\u010den\u00ed v\u0161ak poslou\u017e\u00ed kapitola Kombinatorika v t\u00e9to u\u010debnici jako p\u0159ehled uk\u00e1zkov\u00fdch jednoduch\u00fdch kombinatorick\u00fdch \u00faloh a jejich zp\u016fsob\u016f \u0159e\u0161en\u00ed. U v\u0161ech \u00faloh je toti\u017e v\u017edy u\u017e z um\u00edst\u011bn\u00ed v kapitole z\u0159ejm\u00e9, zda se k \u0159e\u0161en\u00ed vyu\u017eij\u00ed variace (resp. permutace, kombinace) s opakov\u00e1n\u00edm nebo bez opakov\u00e1n\u00ed.<\/p>\n\n\n\n (Calda, Dupa\u010d, 2007)<\/em><\/p>\n\n\n\n Tato u\u010debnice pojme na v\u00edce ne\u017e 160 str\u00e1nk\u00e1ch st\u0159edo\u0161kolskou kombinatoriku, pravd\u011bpodobnost a statistiku, p\u0159i\u010dem\u017e kombinatorice samotn\u00e9 je v\u011bnov\u00e1na t\u00e9me\u0159 polovina obsahu. \u010cten\u00e1\u0159e na prvn\u00ed pohled zaujmou kr\u00e1tk\u00e9 b\u00e1sni\u010dky a cit\u00e1ty typick\u00e9 pro publikace docenta Caldy, kter\u00e9 uv\u00e1d\u011bj\u00ed ka\u017edou kapitolu. Text je souvisl\u00fd a \u010dtiv\u00fd, ale d\u016fle\u017eit\u00e1 tvrzen\u00ed a definice jsou graficky odd\u011blen\u00e9. Definice jsou nejv\u00edce zv\u00fdrazn\u011bn\u00e9 \u2013 nach\u00e1zej\u00ed se v r\u00e1me\u010dku. Tvrzen\u00ed jsou graficky zv\u00fdrazn\u011bna pouze odsazen\u00edm textu. \u00da\u010deln\u011b jsou vyu\u017e\u00edvan\u00e9 t\u00e9\u017e ob\u010dasn\u00e9 ilustrace.<\/p>\n\n\n\n V publikaci \u010dasto nar\u00e1\u017e\u00edme na \u0159e\u0161en\u00e9 p\u0159\u00edklady. \u0158e\u0161en\u00ed b\u00fdv\u00e1 rozvinuto do detail\u016f a samo o sob\u011b je \u010dtiv\u00e9. \u010cetn\u00e9 jsou i p\u0159\u00edklady s obecn\u00fdm zad\u00e1n\u00edm (m\u00edsto \u010d\u00edseln\u00e9 hodnoty je pou\u017eita prom\u011bnn\u00e1), kter\u00e9 jsou samoz\u0159ejm\u011b n\u00e1ro\u010dn\u011bj\u0161\u00ed. Na z\u00e1v\u011br kapitoly je v\u017edy zad\u00e1no n\u011bkolik \u00faloh k procvi\u010den\u00ed, jejich\u017e v\u00fdsledky najdeme v z\u00e1v\u011bru publikace. K jejich vy\u0159e\u0161en\u00ed v\u011bt\u0161inou nesta\u010d\u00ed pouh\u00e9 dosazen\u00ed do vzorce, ale je pot\u0159eba prov\u00e9st ur\u010dit\u00e9 (slovy autor\u016f „nijak slo\u017eit\u00e9“) \u00favahy. Zaj\u00edmavost i obt\u00ed\u017enost \u00faloh je r\u016fzn\u00e1, nalezneme \u00falohy samo\u00fa\u010deln\u00e9 i elegantn\u00ed.<\/p>\n\n\n\n Hned v prvn\u00ed kapitole \u2013 Z\u00e1kladn\u00ed kombinatorick\u00e1 pravidla \u2013 m\u011b zaujala prost\u00e1 \u00faloha: „Ur\u010dete, kolik dvojjazy\u010dn\u00fdch slovn\u00edk\u016f je t\u0159eba k tomu, aby byla zaji\u0161t\u011bna mo\u017enost p\u0159\u00edm\u00e9ho p\u0159ekladu z anglick\u00e9ho, francouzsk\u00e9ho, n\u011bmeck\u00e9ho a rusk\u00e9ho jazyka do ka\u017ed\u00e9ho z nich.“ <\/em>V\u011bt\u0161ina \u0159e\u0161itel\u016f se z\u00e1kladn\u00edmi znalostmi v oblasti kombinatoriky by pravd\u011bpodobn\u011b vyu\u017eila k \u0159e\u0161en\u00ed t\u00e9to \u00falohy kombinace. V \u00favahu p\u0159ich\u00e1z\u00ed tak\u00e9 \u0159e\u0161en\u00ed grafick\u00e9 (je mo\u017en\u00e9 navrhnout rovinn\u00fd graf, kde vrcholy reprezentuj\u00ed jazyky a \u0159e\u0161itelem vytvo\u0159en\u00e9 hrany reprezentuj\u00ed slovn\u00edky). Auto\u0159i v\u0161ak vzhledem k um\u00edst\u011bn\u00ed t\u00e9to \u00falohy z\u0159ejm\u011b o\u010dek\u00e1vaj\u00ed \u0159e\u0161en\u00ed pomoc\u00ed kombinatorick\u00e9ho pravidla sou\u010dinu: Prvn\u00ed jazyk vybereme ze 4, druh\u00fd ze 3, co\u017e d\u00e1v\u00e1 12 uspo\u0159\u00e1dan\u00fdch dvojic. Na po\u0159ad\u00ed jazyk\u016f v\u0161ak ve dvojjazy\u010dn\u00e9m slovn\u00edku nez\u00e1le\u017e\u00ed, proto mus\u00edme po\u010det dvojic vyd\u011blit dv\u011bma.<\/p>\n\n\n\n N\u00e1sleduj\u00ed kapitoly zvl\u00e1\u0161\u0165 v\u011bnovan\u00e9 variac\u00edm, permutac\u00edm a kombinac\u00edm bez opakov\u00e1n\u00ed. Pot\u00e9 je \u010dten\u00e1\u0159i nab\u00eddnuto u\u017eite\u010dn\u00e9 shrnut\u00ed, kde najde pohromad\u011b zm\u00edn\u011bn\u00e9 definice \u2013 variace, permutace, kombinace, faktori\u00e1l a kombina\u010dn\u00ed \u010d\u00edslo. Systematicky stejn\u011b jako v p\u0159edchoz\u00ed publikaci je \u0159azena l\u00e1tka i v n\u00e1sleduj\u00edc\u00edch kapitol\u00e1ch \u2013 variace, permutace a kombinace, tentokr\u00e1t s opakov\u00e1n\u00edm.<\/p>\n\n\n\n P\u0159edposledn\u00ed v\u00fdkladov\u011b vedenou kapitolou jsou Vlastnosti kombina\u010dn\u00edch \u010d\u00edsel, kde jsou odvozeny n\u011bkter\u00e9 kombinatorick\u00e9 identity a velmi pe\u010dliv\u011b je zde pops\u00e1no vybudov\u00e1n\u00ed Pascalova troj\u00faheln\u00edku. Tato kapitola je spole\u010dn\u011b s navazuj\u00edc\u00ed (v\u011bnovan\u00e9 binomick\u00e9 v\u011bt\u011b) rozhodn\u011b nejn\u00e1ro\u010dn\u011bj\u0161\u00ed na vst\u0159eb\u00e1n\u00ed pro st\u0159edo\u0161kolsk\u00e9ho \u017e\u00e1ka, z velk\u00e9 \u010d\u00e1sti se jedn\u00e1 sp\u00ed\u0161e o nadstavbu nad st\u0159edo\u0161kolsk\u00fdm u\u010divem. Kombinatorickou \u010d\u00e1st publikace uzav\u00edr\u00e1 shrnut\u00ed a \u00falohy k opakov\u00e1n\u00ed.<\/p>\n\n\n\n Tuto u\u010debnici bych doporu\u010dil jako p\u0159\u00edru\u010dku pro u\u010ditele matematiky na gymn\u00e1zi\u00edch, nebo\u0165 nejen obsahuje v\u0161echny pot\u0159ebn\u00e9 definice a vzorce, kter\u00e9 je pot\u0159eba ve v\u00fduce kombinatoriky zm\u00ednit, ale nav\u00edc poskytuje i slu\u0161n\u00e9 n\u00e1vrhy, jak se k nim lze s trochou v\u016fle pom\u011brn\u011b zaj\u00edmav\u011b dopracovat. Je v\u0161ak pot\u0159eba, aby se u\u010ditel v u\u010debnici orientoval a byl v hodin\u00e1ch schopen vyj\u00e1d\u0159it z n\u00ed a zd\u016fraznit to podstatn\u00e9, nebo\u0165 je pom\u011brn\u011b obs\u00e1hl\u00e1. P\u0159edev\u0161\u00edm se mi tato u\u010debnice jev\u00ed jako v\u00fdborn\u00e1 literatura pro samostudium. Rozhodn\u011b bych na ni odk\u00e1zal \u017e\u00e1ka st\u0159edn\u00ed \u0161koly projevuj\u00edc\u00edho z\u00e1jem o n\u011bjak\u00fd dopl\u0148uj\u00edc\u00ed materi\u00e1l t\u00fdkaj\u00edc\u00ed se kombinatoriky a pravd\u011bpodobnosti.<\/p>\n\n\n\n (Petr\u00e1nek, Calda, Heb\u00e1k, 2010)<\/em><\/p>\n\n\n\n V t\u00e9to u\u010debnici pro st\u0159edn\u00ed \u0161koly je zvolen trochu jin\u00fd styl v\u00fdkladu. Nap\u0159\u00edklad hned prvn\u00ed podkapitolu v kapitole Kombinatorika \u2013 Kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dinu \u2013 uv\u00e1d\u00ed autor slovy „Za\u010dn\u011bme n\u011bkolika \u00falohami, kter\u00e9 podrobn\u011b vy\u0159e\u0161\u00edme“<\/em>. Tak se skute\u010dn\u011b d\u011bje. V u\u010debnici jsou detailn\u011b pops\u00e1ny postupy \u0159e\u0161en\u00ed dvou \u00faloh s vyu\u017eit\u00edm n\u00e1zorn\u00fdch obr\u00e1zk\u016f. Teprve pot\u00e9 je vy\u0159\u010deno kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dinu v matematick\u00e9m jazyce. P\u0159esn\u011bji \u0159e\u010deno, pravidla jsou uvedena dv\u011b \u2013 jedno pro uspo\u0159\u00e1dan\u00e9 dvojice a jedno pro uspo\u0159\u00e1dan\u00e9 trojice. Teprve po n\u011bkolika dal\u0161\u00edch \u0159e\u0161en\u00fdch p\u0159\u00edkladech je uvedeno obecn\u00e9 kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dinu pro uspo\u0159\u00e1dan\u00e9 k-tice. Kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dtu zm\u00edn\u011bno nen\u00ed. Kapitola je uzav\u0159ena n\u011bkolika cvi\u010den\u00edmi, kter\u00e9 jsou variacemi na d\u0159\u00edve \u0159e\u0161en\u00e9 p\u0159\u00edklady.<\/p>\n\n\n\n N\u00e1sleduj\u00ed podkapitoly v tomto po\u0159ad\u00ed: Variace, Permutace, Variace s opakov\u00e1n\u00edm, Kombinace. Permutace a kombinace jsou v u\u010debnici prob\u00edr\u00e1ny pouze bez opakov\u00e1n\u00ed. Ka\u017ed\u00e1 podkapitola obsahuje, podobn\u011b jako podkapitola Kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dinu, n\u011bkolik detailn\u011b vy\u0159e\u0161en\u00fdch uk\u00e1zkov\u00fdch p\u0159\u00edklad\u016f, z\u00e1kladn\u00ed vzorce v\u010detn\u011b odvozen\u00ed a n\u011bkolik cvi\u010den\u00ed na z\u00e1v\u011br.<\/p>\n\n\n\n Z\u00e1v\u011bre\u010dn\u00e9 dv\u011b podkapitoly jsou, stejn\u011b jako v p\u0159edchoz\u00ed publikaci, v\u011bnovan\u00e9 po \u0159ad\u011b vlastnostem kombina\u010dn\u00edch \u010d\u00edsel a binomick\u00e9 v\u011bt\u011b. V\u0161echna tvrzen\u00ed jsou srozumiteln\u011b odvozov\u00e1na. Dob\u0159e je pops\u00e1na konstrukce Pascalova troj\u00faheln\u00edku a jeho vyu\u017eit\u00ed. Binomick\u00e1 v\u011bta je odvozena v podobn\u00e9m stylu, jako je zavedeno kombinatorick\u00e9 pravidlo sou\u010dinu v prvn\u00ed podkapitole. Nejd\u0159\u00edve je p\u0159ipomenut vzorec pro druhou mocninu dvoj\u010dlenu, pot\u00e9 odvozen vzorec pro t\u0159et\u00ed mocninu dvoj\u010dlenu a binomick\u00e1 v\u011bta vznik\u00e1 zobecn\u011bn\u00edm pou\u017eit\u00fdch \u00favah.<\/p>\n\n\n\n Tato kniha m\u016f\u017ee b\u00fdt vhodn\u00e1 pro samostudium, nebo\u0165 je srozumiteln\u00e1 a obsahuje vhodn\u00e9 p\u0159\u00edklady. Jev\u00ed se jako ide\u00e1ln\u00ed pr\u016fvodce hodinou matematiky na st\u0159edn\u00edch odborn\u00fdch \u0161kol\u00e1ch. Nicm\u00e9n\u011b chyb\u00ed zde t\u00e9mata jako permutace s opakov\u00e1n\u00edm a kombinace s opakov\u00e1n\u00edm.<\/p>\n\n\n\n (Kube\u0161ov\u00e1, Cibulkov\u00e1, 2012)<\/em><\/p>\n\n\n\n Tato publikace je zpracov\u00e1na ve velmi podobn\u00e9m duchu jako Odmaturuj z matematiky 1<\/em>. I zde jsou na \u00favod uvedena z\u00e1kladn\u00ed kombinatorick\u00e1 pravidla bez dal\u0161\u00edch koment\u00e1\u0159\u016f. N\u00e1sleduj\u00ed hned \u0159e\u0161en\u00e9 p\u0159\u00edklady. L\u00e1tka je prob\u00edr\u00e1na v toto\u017en\u00e9m po\u0159ad\u00ed, ale nalezneme zde odli\u0161n\u00e9 \u00falohy, kter\u00e9 jsou nav\u00edc \u0159e\u0161en\u00e9 o pozn\u00e1n\u00ed podrobn\u011bji. Vyskytuj\u00ed se zde v\u0161ak i p\u0159\u00edklady s relativn\u011b neobvykl\u00fdm zad\u00e1n\u00edm, nap\u0159.: „Zv\u011bt\u0161\u00ed-li se po\u010det prvk\u016f o 5, zv\u011bt\u0161\u00ed se po\u010det variac\u00ed t\u0159et\u00ed t\u0159\u00eddy bez opakov\u00e1n\u00ed vytvo\u0159en\u00fdch z t\u011bchto prvk\u016f o 870. Ur\u010dete p\u016fvodn\u00ed po\u010det prvk\u016f.“ <\/em>Nejedn\u00e1 se o \u00fapln\u011b jednoduch\u00fd p\u0159\u00edklad, ale v podstat\u011b jen testuje schopnost sestaven\u00ed rovnice a dosazov\u00e1n\u00ed do vzorc\u016f. Ned\u00e1 se \u0159\u00edct, \u017ee by byl nezaj\u00edmav\u00fd, ale jev\u00ed se jako samo\u00fa\u010deln\u00fd. Podobn\u00fd p\u0159\u00edklad najdeme v u\u010debnici i na kombinace.<\/p>\n\n\n\n Vzorce pro v\u00fdpo\u010det variac\u00ed, permutac\u00ed a kombinac\u00ed nejsou odvozov\u00e1ny. Skupin\u00e1m s opakov\u00e1n\u00edm je pro ka\u017ed\u00fd druh p\u0159edveden jen jeden \u0159e\u0161en\u00fd p\u0159\u00edklad. Vybudov\u00e1n\u00ed a v\u00fdznam Pascalova troj\u00faheln\u00edku jsou v u\u010debnici vysv\u011btleny. Binomick\u00e1 v\u011bta odvozov\u00e1na nen\u00ed, jen je nazna\u010dena souvislost s Pascalov\u00fdm troj\u00faheln\u00edkem.<\/p>\n\n\n\n Tato u\u010debnice m\u016f\u017ee b\u00fdt pou\u017eita jako u\u010debn\u00ed pom\u016fcka pro \u017e\u00e1ka, nebo\u0165 obsahuje pot\u0159ebn\u00e9 vzorce a definice, ale neobsahuje dostatek didakticky hodnotn\u00e9ho materi\u00e1lu na to, aby mohla slou\u017eit k samostudiu nebo jako prim\u00e1rn\u00ed podklad pro u\u010ditel\u016fv v\u00fdklad.<\/p>\n\n\n\n Jak bylo \u0159e\u010deno na za\u010d\u00e1tku \u010dl\u00e1nku, kombinatorika je z ur\u010dit\u00fdch d\u016fvod\u016f nep\u0159\u00edjemn\u00e1 l\u00e1tka jak pro \u017e\u00e1ka, tak pro u\u010ditele, a v\u00edce ne\u017e v jin\u00fdch oborech matematiky se p\u0159i jej\u00ed v\u00fduce mus\u00ed u\u010ditel spolehnout nejen na sv\u00e9 didaktick\u00e9 schopnosti, ale hlavn\u011b na schopnost smyslupln\u011b argumentovat a diskutovat s \u017e\u00e1ky. Kvalitn\u00ed literatura m\u016f\u017ee pomoci vybudovat teoretick\u00e9 z\u00e1zem\u00ed, ale pr\u00e1v\u011b v p\u0159\u00edpad\u011b kombinatoriky se o n\u011bj ned\u00e1 stoprocentn\u011b op\u0159\u00edt. Na druhou stranu, kombinatorika nab\u00edz\u00ed p\u0159\u00edle\u017eitosti k\u00a0\u0159e\u0161en\u00ed \u00faloh, kter\u00e9 se \u010dasto zdaj\u00ed b\u00fdt o pozn\u00e1n\u00ed m\u00e9n\u011b abstraktn\u00ed ne\u017e \u00falohy z jin\u00fdch odv\u011btv\u00ed matematiky, alespo\u0148 pro st\u0159edo\u0161kol\u00e1ka.<\/p>\n\n\n\n Autor: Jind\u0159ich Michalik<\/strong> <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" U\u017e od st\u0159edn\u00ed \u0161koly jsem m\u011bl ke kombinatorice kladn\u00fd vztah a \u0159e\u0161en\u00ed kombinatorick\u00fdch \u00faloh m\u011b st\u00e1le bav\u00ed o n\u011bco v\u00edce, ne\u017e \u0159e\u0161en\u00ed \u00faloh z jin\u00fdch obor\u016f matematiky. P\u0159itom se typicky jedn\u00e1 o \u00falohy, jejich\u017e zad\u00e1n\u00ed je tak prost\u00e9, \u017ee mu rozum\u00ed i \u017e\u00e1k z\u00e1kladn\u00ed \u0161koly (bez ohledu na to, zda by je dok\u00e1zal vy\u0159e\u0161it). Na druhou…<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[7],"tags":[34,38],"class_list":["post-130","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-sekce-matematiky-a-informatiky","tag-matematika","tag-ucebnice"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/130","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=130"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/130\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":131,"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/130\/revisions\/131"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=130"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=130"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/ucitel.kvcso.cz\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=130"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Odmaturuj z matematiky 1<\/h3>\n\n\n\n
Matematika pro gymn\u00e1zia \u2013 Kombinatorika, pravd\u011bpodobnost, statistika<\/h3>\n\n\n\n
Matematika pro SO\u0160 a studijn\u00ed obory SOU, 4. \u010d\u00e1st, 5. vyd\u00e1n\u00ed<\/h3>\n\n\n\n
Matematika \u2013 p\u0159ehled st\u0159edo\u0161kolsk\u00e9ho u\u010diva \u2013 edice Maturita<\/h3>\n\n\n\n
Z\u00e1v\u011br<\/h3>\n\n\n\n